ANALİTİK GEOMETRİ
DOĞRU ANALİTİĞİ
Soru 1
ik koordinat sisteminde A(m+3,n-1) noktası,IV. Bölgede ise B(m,n) noktası nedir?
Çözüm:
A(m+3,n-1) noktası IV. Bölgede ise
m+3>0 ------- m > -3
n-1<0 ------ n<1
=(-2,-1)
Soru 2: A(-3,7) ve b(5,1) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
|AB|=√ (-3-5)2+(7-1)2
=√64+36 = √100 =10 BİRİMDİR.
Soru 3: A(-1,3) noktasını orjine göre uzaklığı kaç birimdir?
Çözüm:
|OA|=√(-1)2+(3)2 = √1+9 =√10
Soru 4: Analitik düzlemde A(-2,1) ve b(4,5) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların
geometrik yerinin denklemi nedir?
Çözüm:
Orta dikme doğrusu
√(x+2)2(y-1)2 = √(x-4)2+(y-5)2
x2+4x+4+y2-2y+1=x2-8x+16+y2-10y+25
A(-2,1) B(4,5)
4x-2y+5=-8x-10y+41
3x+2y-9=0 C(x,y)
Soru 5: A(1,4) ve B(3,-10) noktaları veriliyor.|AB| ‘nin orta noktasının orjine uzaklığı kaç birimdir?
Çözüm:
|AB|’nin orta noktası C(x0 , y0) olsun.
x0 = 1 + 3 = 2 y0 = 4 – 10 = -3 olup.
2 2
C(2,-3)noktasının orjine uzaklığı;
|OC|=√22+(-3)2 = √13 BİRİMDİR.
Soru 6: Köşelerinin koordinatları; A(6,7), B(-1,2) C(7,4) olan üçgenin Va kenarortay uzunluğu kaçtır?
Çözüm:
|BC|’nin orta noktası
D(x0,y0) ise;
x0= -1+7 = 3
2
y0= 2+4 = 3 olur.
2
Buna göre,
Va = |AD| = √(6-3)2+(7-3)2 = √9+16 =5 olur.
Soru 7: Köşe noktalarının koordinatları,A(-4,5) , B(-2,7) , C(6,10) , D(a,b) olan ABCD paralel kenarında D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözüm:
-4+6 = -2 + a a = 4
5+10 = 7+b b = 8
a + b=4+8 =12 olur.
Soru 8: A(5,-2) ve B(-3,4) noktaları veriliyor. |AC|
= 3 olacak şekilde dışarıdaki doğrusal
|BC|
C(x0,y0) noktasının koordinatları nedir?
Çözüm:
A(5,-2),B-3,4) ve k = 3 olduğundan:
5-3(-3) -2-3.4
x0= = -7 ve y0= = 7
1-3 1-3
bulunur ve böylece C(x0,y0) = C(-7,7) elde edilir.
Soru 9: Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(5,4),B(-1,2) ve C(a,b) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları G(4,3) ise a+b kaçtır?
Çözüm:
4 = 5-1+a a = 8 , 3 = 4+2+b b = 3
3 3
buradan a+b = 8+3 = 11 olur.
Soru 10: Köşe noktalarının koordinatları A(-2,6) B(3,-1 ve C(4,5) olan ABC üçgeninin
alanı kaç birim karedir?
Cevap 10:
-2 6
3 -1
4 5
A(ABC)= 1 . -2 6 = 1 |2+15+24-18-(-4)-(-10)| = 37
2 2 2
Soru 11: A(1,-2) ve B(p,3) noktalarından geçen doğru Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yaptığına göre p kaçtır?
Çözüm:
a = 45 m = tan 45 = 1
3-(-2) 5
1=──── = ── 5=p-1 p = 6 olur.
p-1 p-1
Soru 12: A(-2,3) , B(1,-3) , C(5,1) ve D(1,k) noktaları veriliyor.AB // CD ise k sayısı kaçtır?
Çözüm:
AB // CD olduğundan bu doğruların Ox ekseni ile yaptığı açılar ve dolayısıyla bu doğruların eğimleri birbirine eşittir.
-3-3 k-1
mAB = mCD ───── = ─── k=9 olur.
1-(-2) 1-5
Soru 13: A(2p-1,4) ve B(p+3,2) noktalarından geçen doğru Ox eksenine dik ise P kaçtır?
Çözüm:
2-4
a = 90 m = ∞ = ────────
p+3-(2p-1)
-2
∞ = ──── -p+4 = 0 p=4 olur.
-p+4
Soru 14: Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yapan ve (-2,1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm:
a = 45 m = tan45 = 1
Eğimi, m = 1 olan A(-2,1) noktasından geçen doğru denklemi;
y-1 = 1(x+2) y-x-3 = 0 olur.
Soru 14: Eğimi -3 olan ve A(-1,2) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm
Doğrunun eğimi -3 olduğundan denklem y = -3x+n şeklindedir.Ve doğru A(1,-2) noktasından geçtiği için A(1,-2) noktasının koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.Buna göre,-2 = -3.1+n n = 1 elde edilir.Ve doğru denklemi
y = -3x+1 şeklinde bulunmuş olur.
Soru 15: A(-3,2) ve b(1,-6) noktalarında geçen doğrunun denklemi nedir?
Cevap:
A(x1,y1) = A(-3,2) ve B(x2,y2) = B(1,6) olsun
y-(-6) -6-2 y+6
──── = ───── ──── = -2 y+6=-2(x-1) y+2x+4 = 0’ dır.
x-1 1-(-3) x-1
Soru 15: Dik koordinat düzlemindeki d doğrusunun denklemi nedir?
Çözüm:
A(-2,0) ve B(0,3) noktalarından geçen doğru denklemi;
x y
── + ── = 1 3x-2y+6 = 0‘dır.
-2 3
Soru 16: y = 3x-6 denklemi ile verilen doğrunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
y
y = 3x-6 denkleminde
y = 3x-6 x = 0 y = -6;A(0,-6)
y = 0 3x-6 = 0 x=2;b(2,0)
A(0,-6)ve B(2,0) noktaları birleştirilirse
x y = 3x-6 doğrusunun grafiği çizilmiş olur
(2,0)
(0,-6)
Soru 17: 2x-y+4 = 0 ve x+y+2=0 doğrularının kesiştikleri nokta nedir?
Çözüm:
2x-y+4 = 0
taraf tarafa toplama yapılırsa
x+y+2 = 0
3x+6 = 0 x = -2 elde edilir.
Denklemlerden herhangi birinde x = -2 yazılırsa y = 0 bulunur.Buna göre,bu iki doğru (-2,0) noktasında kesişirler.
Soru 18: Dik koordinat düzleminde 2x-5y-4 = 0 doğrusuna paralel olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm:
2 4 2
2x-5y-4 = 0 y = ──x - ── olup,bu doğrunun eğimi m1=──’tir.
5 5 5
2
Paralel doğruların eğimleri birbirlerine eşit olacağından m2=── olmalıdır.
2 5
Buna göre,eğimi m2=── olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi;
5
2
y-4 = ── (x-3) 2x-5y+14 = 0 olur.
5
Soru 19: Analitik düzlemde;
d1: (a-3)x+y-1 = 0
d2: (a+2)x-2y+5 = 0 doğruları veriliyor.
d1 ile d2 doğruları birbirine paralel ise a kaçtır?
Çözüm:
Burada a1 = a-3 , b1 = 1 , a2 = a+2
a1 b1
Ve b2 = -2’dir.Paralel doğrularda ── = ── olacağından .
a2 b2
a-3 1
─── = - ── 2a-6 = -a -2 3a = 4
a+2 2
4
a = ──
3
Soru 20: Denklemleri (m+2)x+4y-2 = 0 ve 3x-(2n+1)y+1 = 0 olan doğrular çakışık ise m + n kaçtır?
Çözüm:
Doğruların çakışık olması için,
m+2 4 -2
──── = ───── = ── olmalıdır.Buna göre;
3 -(2n+1) 1
m+2 = -6 m = -8
1 1 -15
4n+2 = 4 n = ── m+n = -8 + ── = ── olur.
2 2 2
Soru 21: 2x+y-1 = 0 ve 3x+2y-6 = 0 doğruların kesiştiği noktadan geçen doğru demetinin denklemi nedir?
Çözüm:
2x+y-1+k(3x+2y-6) = 0
(3k+2)x+(2k+1)y-6k-1 = 0’dır.
Soru 22: (2k-1)x+(k+3)y+2k+1 = 0 denklemi ile verilen doğruların kesiştiği noktanın koordinatları nedir?
Çözüm:
(2k-1)x+(k+3)y+2k+1 = 0
-x+3y+1+k(2x+y+2) = 0
0+k.0 = 0 olduğundan,
-x+3y+1 = 0 5 4
denkleminin sisteminin çözüm kümesi ( - ──,- ── )‘dir. 2x+y = 2 = 0 7 7
Soru 23: A(-2,3) noktasından geçen ve d1: 2x-y+1 = 0 doğrusuna dik olan d2 doğrusunun denklemi nedir?
Çözüm:
d1: 2x-y+1 = 0 m1 = 2 1
m1.m2 = -1 2.m2 = -1 m2 = - ──
2
1
Buna göre eğimi “m2 = - ── ” olan ve A(-2,3) noktasından geçen doğru denklemi;
2
1
y-3 = ── (x+2) 2y+x-4 = 0 bulunur.
2
Soru 24:
d1: (m+2)x-2y+1 = 0 ve
d2: 3x+(2m-1)y+2 = 0 denklemleri ile verilen doğrular birbirine dik ise m kaçtır?
Çözüm:
a1a2+b1b2 = 0
(m+2).3+(-2).(2m-1) = 0
-m+8 = 0 m = 8
1
Soru 25: Koordinat düzleminde d1: y = ── x-2 ve d2:-2x+y+1 = 0 doğruları arasındaki dar
3
açı kaç dercedir?
Çözüm:
1 1
d1: y = ── x-2 m1 = ──
3 3
bu iki doğru arasındaki açı “v” olsun.
d2: -2x+y+1 = 0 m2 = 2
m2-m1
tanv = ───── = 1 tanv = 1 v = 45 derecedir.
1+m2
Soru 26: Analitik düzlemde d1: √3 x – y +1 = 0 ve d2: x+y-2 = 0 doğruları arasındaki açı
kaç derecedir?
Çözüm:
d1: √3 x-y+1 = 0 m1 = √3 a = 60 , m2 = -1 B = 135
2 Bu takdirde bu iki doğru arasındaki geniş
105 açı 105 derecedir.
1
75
60 135
1 2
──
√3 d2: x+y-2 = 0
Soru 27: Analitik düzlemde A(3,-2) noktasının -4x+3y+3 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?
Çözüm:
|-4.3+3(-2)+3| |-15|
───────── = ─── = 3 birimdir.
√(-4)2+32 5
Soru 28:
d1: 3x+y+2 = 0 ve
d2: 6x+2y-16 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
Verilen her iki denklemde de x’in ve y’nin katsayıları eşitlenmelidir.Bunun için ya d1’in denklemi 2 ile çarpılmalı veya d2’nin denklemi 2 ile sadeleştirilmelidir.
d1: 3x+y+2 = 0 c1 = 2 d2: 6x+2y-16 = 0 3x+2y-8 = 0 c2: -8
d1 d2 doğruları arasındaki uzaklık; |2-(-8)| 10
──── = ─── = √10 birim.
√32+12 √10
Soru 29: 2x+y-1 = 0 ve x-2y+7 = 0 denklemleri ile verilen doğrulara eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir?
Çözüm:
Kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki doğrunun oluşturduğu açıortay doğrularıdır.
2x+y-1 x-2y+7
────── = ─────
√22+12 √12+(-2)2
2x+y-1 = x-2y+7 x+3y-8 = 0
2x+y-1 = -(x-2y+7) 3x-y+6 = 0 olur.
Soru 30: Analitik düzlemde A(2,4) noktasının B(x,y) noktasına göre simetriği C(-2,6) noktası ise x+y değeri kaçtır?
Çözüm:
|AB| = |BC| olduğundan
2-2 4+6
x = ───── = 0 y = ───── = 0
2 2
olup x+y = 5 olur.
Soru 31: Koordinat düzleminde A(4,-1) noktasının Ox eksenine göre simetriği B,orjine
göre simetriği C noktası ise ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir?
Çözüm:
A(4,-1 ) noktasının Ox eksenine göre simetriği B(4,1) , orjine göre simetriği C(-4,1)
noktası olduğundan |AB| =2br.,|BC| = 8 br olup
2.8
A(ABC) = ──── = 8 birim kare olur.
2
Soru 32: A(3,-2)noktasının y = -x doğrusuna göre simetriği y = ax+3 doğrusu üzerinde bulunuyor ise a kaçtır?
Çözüm:
A(3,-2) noktasının y = -x doğrusuna göre simetriği B(2,-3) olup, bu nokta y = ax+3
doğrusu üzerinde olduğundan ;
-3 = 2a+3 a = -3 olur.
Soru 33: A(a,b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B noktası,B noktasının Oy eksenine göre simetriği C(2a,-3) noktası ise a+b kaçtır?
Çözüm:
A(a.b) noktasının, y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a);B(b,a) noktasının Oy eksenine
göre simetriği C(-b,a) olur.
C(-b,a) = C(2a,-3) a= -3 ve –b = 2a olur.
b = 6 olup a+b = -3+6 = 3 bulunur.
Soru 34: Dik koordinat sisteminde A noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B,B noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriği C(-2,1) ise,A noktasının koordinatları nedir?
Çözüm:
A(a.b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a) , B(b,a) noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriği C(4-b,a) = C(-2,1) b = 6 ve a = 1 bulunur.
Buna göre,A(a,b) = A(1,6) olur.
Soru 35: A(-4,3) noktasının d doğrusuna göre simetriği B(2,-5) noktası ise A noktasının d doğrusuna uzaklığı nedir?
Çözüm:
|AB| = √(-4-5)2+(3+5)2 = 10 birim.
|AB| 10
Buna göre,A noktasının d doğrusuna uzaklığı , ───── = ──── = 5 birimdir.
2 2
Soru 36: A(4,-2) noktasının d: 2x-y+1 = 0 doğrusuna göre simetriği nedir?
Çözüm:
A(4,-2)noktasının d: 2x-y+1 = 0 doğrusuna göre simetriği B(x2,y2) olsun.
y2 + 2
─────── * 2 = -1 2y2+x2 = 0…(1)
x2-4
4+x2 -2+y2 y2
2 * ────── - ───── +1 = 0 x2 - ── = -6 …(2)
2 2 2
24 12
(1) ve (2) denkleminden x2 = - ── , y2 = ── olarak bulnur.
5 5
Soru 37: d1: 2x-y+7 = 0 doğrusunun eksenlere ve orjine göre simetrilerini bulunuz.
Çözüm:
d1: 2x-y+7 = 0 doğrusu için
(x,y) Ox (x,-y)
d1: 2x-y+7 = 0 d2 : 2x+y+7 = 0
(x,y) Oy (-x,y)
d1:2x-y+7 = 0 Oy d3: -2x-y+7 = o
(x,y) ORJİN(0.0) (-x,-y)
d1: 2x-y+7 = 0 d 4:-2x+y+7 = 0 olur.
a b-a
Soru 38: Analitik düzlemde A( a, ── ) noktası IV. Bölgede ise B( 2b, ─── ) hangi
b b
bölgededir?
Çözüm:
a a
A( a, ── ) noktası IV: bölgede olduğundan a > 0 ,── < 0 olup buradan b < 0 olur.
b b
b-a
a > 0 , b < 0 2b < 0 , b-a < 0 ve ─── > 0 olur.
b
Bundan dolayı B noktasının apsisi negatif ordinatı pozitif olduğundan bu nokta II. bölgededir.
Soru 39: Dik koordinat düzleminde köşe noktalarının koordinatları A(0,-1) , B(3,6) ve C(5,-2) olan ABC üçgeninde |BC| kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç birimdir?
Çözüm:
B(3,6) |BC| nin orta noktası D(x0,y0) olsun.Buna göre
3+5 6-2
x0 = ───── = 4 y0 = ──── = 2 olur.
D(x0,y0) 2 2
Buna göre |BC| ye ait kenarortayın uzunluğu
A(0,-1) C(5,-2) |AD| = √(4-0)2 + (2+1)2 = 5 birim olur.
Soru 40: Dik koordinat düzleminde A(a,-1) , B(a+3,8) ve C(-3,a-1) noktalarının doğrusal olabilmesi için a kaç olmalıdır?
Çözüm:
ABC doğrusal ise eğimler eşit olur. mAB = mBC = mAC
Bunlardan mAB = mBC yi kullanırsak.
8+1 a-9 9
mAB = mBC ───── = ──── a = - ──
a+3-a -a-6 4
Soru 41: Analitik düzlemde A(1,2) ve B(2,5) noktalarının y = x doğrusu üzerindeki bir K noktasına uzaklıkları eşittir. Buna göre,K noktasının koordinatları nedir?
Çözüm:
y = x doğrusu üzerinde A(1,2) ve B(2,5) noktalarına
5 --------------- B eşit uzaklıktaki nokta K(a,a) olsun.
y = x
A √(a,1)2 + (a-2)2 = √(a-2)2 + (5a-5)2
2 --------- K(a,a)
(a-1)2 + (a-2)2 = (a-2)2 + (a-5)2
x a2 – 2a+1 = a2-10a+25
1 2
-2a+10a = 25-1
8a = 24 a = 3
K(3,3) olur.
Soru 42: Dik koordinat düzleminde A(-4,1) ve B(4,3) noktalarına eşit uzaklıktaki
noktaların geometrik yerinin denklemi nedir?
Çözüm:
3-1 2 1
AB doğrusunun eğimi mAB = ── = ── = ──
4+4 8 4
A(-4,1) C(0,2) B(4,3) AB ┴ d olduğunda mAB.md = -1 olduğundan
1
── . md = -1 md = -4
4
|AB| doğru parçasının orta noktasının
-4+4
koordinatları Xc = ──── = 0
2
1+3
Yc = ─── = 2 C(0,2) olduğundan;
2
Soru 43: Analitik düzlemde A(1,7) ve B(7,5) noktaları veriliyor.Buna göre,O ekseni üzerinde,|AK| + |KB| en küçük olabilecek şekilde K(x0,0) noktasının apsisi kaçtır?
Çözüm:
B noktasının Ox eksenine göre simetriği Bı noktası olsun. Bu durumda |KB| = |KBı|
ve dolayısıyla |AK| + |KB| = |AK| + |KBı| olur. |AK| +|KB| nin en küçük olması demek
|AK| + |KBı| toplamının en küçük olması demektir.Bunun için ise A.K ve Bı
noktalarının doğrusal olması gerekir.Buna göre;
0-5 -5-0 9
mAK = mKBı ─── = ─── x0 = ── = 4,5 olur.
x0-1 7-x0 2
Soru 44: Analitik düzlemde A(-3,4) ve B(1,8) noktaları ve Ox ekseni üzerinde değişken
bir C(a,0) noktası veriliyor. │|AC| - |BC| │ en küçük değeri aldığında C noktasının apsisi
“a” kaçtır?
Çözüm:
│|AC|-|BC|│ nin en küçük olması |AC| = |BC| olmasıyla mümkündür.Buna göre;
√(a+3)2 + (0-4)2 = √(a-1)2 + (0-8)2
a2+6a+25 = a2-2a+65
8a = 40 a = 5 olur.
